درس هفتم مبانی اقتصاد - شیب خط و مشتق
در ریاضیات (اِنگارِش)، شیب خط، میزان انحنا یا نرخ انحنای یک خط را مشخص می کند. اگر دو نقطه از یک خط را داشته باشیم، (x1,y1) و (x2,y2)، می توان شیب یک خط را به این شکل حساب کرد:
M=(y1-y2)/(x2-x1)
در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:
که در این فرمول "علامت هرم" نشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع، بیشتر از فرمول زیر استفاده می کنند:
معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع "اف" نسبت به متغیر "اکس" استفاده می کنند:
یک تابع را در نقطه ای مانند "اکس" مشتق پذیر گویند اگر در آن نقطه مشتق موجود باشد و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد. اگر تابع در نقطه ای مانند "سی" پیوسته نباشد، آنگاه در "سی" نمی تواند مشتق پذیر باشد. البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمی کند.
مشتق یک تابع مشتق پذیر می تواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند. مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف می شوند.
از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است. البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم (برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده می کنیم). برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک می کنیم.
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید. پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین "ایچ" در فرمول زیر حاصل می شود:
در این فرمول "ایچ" به عنوان کوچک ترین تغییر متغیر "اکس" تعریف می شود و می تواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط
(x, f(x)) و (x+h, f(x+h))
حاصل می شود. واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد. همچنین در این روش مشتق "اکس"، حاصل حد زیر است
چند مثال عددی
مثال ۱- معادله خط زیر را در نظر بگیرید:
y = 2x + 5
شیب خط چقدر است؟
پاسخ: در اینجا شیب خط برابر است با ۲.
مثال ۲- مشتق تابع زیر را بدست آورید؟
y = 5x + 3
پاسخ: مشتق این تابع برابر است با ۵.
مثال: مشتق تابع زیر را بدست آورید؟
y = x^2 + 2x
پاسخ: مشتق این تابع برابر است با 2x+2
منابع:
تارنمای درسنامه: http://www.darsnameh.com/
تارنمای دانشنامه اقتصاد و مدیریت: http://www.daneshnamah.com/
دانشنامه ویکی پیدیا: http://fa.wikipedia.org/wiki/
مشتق چیست: http://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82
تابع پیوسته: http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%BE%DB%8C%D9%88%D8%B3%D8%AA%D9%87
حد - ریاضی: http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%AF_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)
..... ادامه دارد